什么是EK算法
EK (Edmond-Karp) 算法，说白了就是求最大流/费用流之类的问题的算法。什么是最大流
定义
带权的有向图$G=(V,E)$，满足以下条件，则称为网络流图$(flow network)$：- 仅有一个入度为$0$的顶点$s$，称$s$为源点。
- 仅有一个出度为$0$的顶点$t$，称$t$为汇点。
- 每条边的权值都为非负数，称为该边的容量，记作$c(i,j)$。
- 通过容量网络$G$中每条弧$< u,v>$上的实际流量(简称流量),记为$f(u,v)$，称为弧的流量。
例题
Luogu P3376 【模板】网络最大流题意
给出一个网络图，以及其源点和汇点，求出其网络最大流。思路
这是最大流的模板题，请往下阅读。增广路
增广路定义
增广路是指从源点$s$到汇点$t$的一条路，流过这条路，可以使得当前的流可以增加。如何求增广路
其实就是从源点$s$开始$bfs$即可，到达汇点$t$时，然后找到这个路径的权值的最小的边，然后把路径上的每一条边减去这个最小值即可。Code
寻找增广路
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queue<int> q;//队列 bool bfs(){ while(!q.empty()) q.pop();//清空 memset(vis,0,sizeof(vis)); memset(pre,-1,sizeof(pre)); vis[s]=1;//源点标记 q.push(s);//入队 while(!q.empty()){ int u=q.front();q.pop(); for(int i=fir[u];i;i=nxt[i]){ int to=son[i]; if(vis[to]==0&&w[i]!=0){ pre[to].v=u; pre[to].edge=i;//记路径 if(to==t) return 1;//到达t点 vis[to]=1; q.push(to);//拓展 } } } return 0; } |
定义
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int n,m,s,t,vis[MAXN]; int fir[MAXN],nxt[MAXN],w[MAXN],son[MAXN],tot=1,ans;//领接表 struct edge{ int v,edge;//用来记路径 }pre[101010]; |
EK算法核心（你别急，我还没说完）
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int EK(){ ans=0; while(bfs()){ int Min=2e9; for(int i=t;i!=s;i=pre[i].v){ Min=min(Min,w[pre[i].edge]); } for(int i=t;i!=s;i=pre[i].v){ w[pre[i].edge]-=Min; } ans+=Min; } return ans; } |
反向边
为什么要建反边
Code
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int EK(){ ans=0; while(bfs()){ int Min=2e9; for(int i=t;i!=s;i=pre[i].v){ Min=min(Min,w[pre[i].edge]); } for(int i=t;i!=s;i=pre[i].v){ w[pre[i].edge]-=Min;//减去流量 w[pre[i].edge^1]+=Min;//加上流量 } ans+=Min; } return ans; } |
回归例题
所以这道最大流的模板题代码：Code
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#include<algorithm> #include<bitset> #include<complex> #include<deque> #include<exception> #include<fstream> #include<functional> #include<iomanip> #include<ios> #include<iosfwd> #include<iostream> #include<istream> #include<iterator> #include<limits> #include<list> #include<locale> #include<map> #include<memory> #include<new> #include<numeric> #include<ostream> #include<queue> #include<set> #include<sstream> #include<stack> #include<stdexcept> #include<streambuf> #include<string> #include<typeinfo> #include<utility> #include<valarray> #include<vector> #include<cctype> #include<cerrno> #include<cfloat> #include<ciso646> #include<climits> #include<clocale> #include<cmath> #include<csetjmp> #include<csignal> #include<cstdarg> #include<cstddef> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<ctime> using namespace std; #define MAXN 200010 inline int read(){ int res=0,f=1;char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();} while(ch>='0'&&ch<='9') res=res*10+ch-'0',ch=getchar(); return res*f; } inline void write(int x){ if(x<0) putchar('-'),x=-x; if(x<10) putchar(x+'0'); else{ write(x/10); putchar(x%10+'0'); } } //queue<int> q; //set<int> s; //priority_queue<int> q1; //priority_queue<int,vector<int>,greater<int> > q2; //list<int> l; //stack<int> s; int n,m,s,t,vis[MAXN]; int fir[MAXN],nxt[MAXN],w[MAXN],son[MAXN],tot=1,ans; struct edge{ int v,edge; }pre[101010]; void add(int x,int y,int z){ ++tot; nxt[tot]=fir[x]; fir[x]=tot; w[tot]=z; son[tot]=y; } queue<int> q; bool bfs(){ while(!q.empty()) q.pop(); memset(vis,0,sizeof(vis)); memset(pre,-1,sizeof(pre)); vis[s]=1; q.push(s); while(!q.empty()){ int u=q.front();q.pop(); for(int i=fir[u];i;i=nxt[i]){ int to=son[i]; if(vis[to]==0&&w[i]!=0){ pre[to].v=u; pre[to].edge=i; if(to==t) return 1; vis[to]=1; q.push(to); } } } return 0; } int EK(){ ans=0; while(bfs()){ int Min=2e9; for(int i=t;i!=s;i=pre[i].v){ Min=min(Min,w[pre[i].edge]); } for(int i=t;i!=s;i=pre[i].v){ w[pre[i].edge]-=Min; w[pre[i].edge^1]+=Min; } ans+=Min; } return ans; } int main(){ n=read();m=read();s=read();t=read(); for(int x,y,z,i=1;i<=m;i++){ x=read();y=read();z=read(); add(x,y,z); add(y,x,0); } write(EK());putchar('\n'); return 0; } |
EK算法拓展
费用流问题
Luogu P3381 【模板】最小费用最大流Code
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#include<algorithm> #include<bitset> #include<complex> #include<deque> #include<exception> #include<fstream> #include<functional> #include<iomanip> #include<ios> #include<iosfwd> #include<iostream> #include<istream> #include<iterator> #include<limits> #include<list> #include<locale> #include<map> #include<memory> #include<new> #include<numeric> #include<ostream> #include<queue> #include<set> #include<sstream> #include<stack> #include<stdexcept> #include<streambuf> #include<string> #include<typeinfo> #include<utility> #include<valarray> #include<vector> #include<cctype> #include<cerrno> #include<cfloat> #include<ciso646> #include<climits> #include<clocale> #include<cmath> #include<csetjmp> #include<csignal> #include<cstdarg> #include<cstddef> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<ctime> #define int long long using namespace std; #define MAXN 200010 inline int read(){ int res=0,f=1;char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();} while(ch>='0'&&ch<='9') res=res*10+ch-'0',ch=getchar(); return res*f; } inline void write(int x){ if(x<0) putchar('-'),x=-x; if(x<10) putchar(x+'0'); else{ write(x/10); putchar(x%10+'0'); } } //queue<int> q; //set<int> s; //priority_queue<int> q1; //priority_queue<int,vector<int>,greater<int> > q2; //list<int> l; //stack<int> s; int n,m,s,t,vis[MAXN],dis[MAXN],anss; int fir[MAXN],nxt[MAXN],w[MAXN],son[MAXN],tot=1,ans,cost[MAXN]; struct edge{ int v,edge; }pre[101010]; void add(int x,int y,int z,int c){ ++tot; nxt[tot]=fir[x]; fir[x]=tot; w[tot]=z; son[tot]=y; cost[tot]=c; } queue<int> q; bool spfa(){ while(!q.empty()) q.pop(); memset(vis,0,sizeof(vis)); memset(pre,-1,sizeof(pre)); memset(dis,63,sizeof(dis)); dis[s]=0;dis[t]=2e9; vis[s]=1;q.push(s); while(!q.empty()){ int u=q.front();q.pop();vis[u]=0; for(int i=fir[u];i;i=nxt[i]){ int to=son[i]; if(w[i]>0&&dis[to]>dis[u]+cost[i]){ dis[to]=dis[u]+cost[i]; pre[to].edge=i; pre[to].v=u; if(vis[to]==0){ vis[to]=1; q.push(to); } } } } if(dis[t]<2e9) return 1; return 0; } int EK(){ ans=0;anss=0; while(spfa()){ int Min=2e9; for(int i=t;i!=s;i=pre[i].v){ Min=min(Min,w[pre[i].edge]); } for(int i=t;i!=s;i=pre[i].v){ w[pre[i].edge]-=Min; w[pre[i].edge^1]+=Min; } anss+=Min; ans+=Min*dis[t]; } return ans; } signed main(){ n=read();m=read();s=read();t=read(); for(int x,y,z,c,i=1;i<=m;i++){ x=read();y=read();z=read();c=read(); add(x,y,z,c); add(y,x,0,-c); } EK(); write(anss);putchar(' '); write(ans);putchar('\n'); return 0; } |
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