三校集训Part2 NBCX Day7 timegate 题解

题意

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构造一个图,图的所有边权等于$1$,求使$1$到$n$的最短路距离为$k$的方案数。
对于$ 100\text{%}$的数据$n,k \leq 100$

思路

(为了图(wo)方(tai)便(cai),下文的$m$代表上文题意中的$k$,下文的$k$详见下文)
考虑$dp$。
因为这张图的最短路距离为$k$,所以考虑分层图。
设$f[i][j][k]$表示前$i$层总共选了$j$个,第$i$层选了$k$个。
很明显$f[0][1][1]=1$(前$0$层选$1$个,第$0$层选$1$个,因为第$0$层有一点$1$)。
暴力枚举$i,j,k,l$,分别表示前$i$层,选了$j$个,第$i$层选了$k$个,第$i-1$层选了$l$个。
${f[i][j][k]+=f[i-1][j-k][l] \times {(2^l -1)}^k \times 2^{\frac{k\times (k-1)}{2}} \times {C}_{n-j+k-1}^{k}}$

当$i=n$时,该层必须有$n$(上一个$dp$式子是必须没有$n$)。
$f[i][j][k]+=f[i-1][j-k][l] \times {(2^l -1)}^k \times 2^{\frac{k\times (k-1)}{2}} \times {C}_{n-j+k-1}^{k-1}$

${(2^l-1)}^k$: 当前层每个点至少要与上一层的一个点有边,每个点有$ 2^l -1$种连法,总共有$k$个点
$2^{\frac{k\times (k-1)}{2}} $: $k$个点之间可以互相连
$C_{n-j+k-1}^{k}$: $n-j+k$个点选$k$个的方案数,但是$n$不能
$C_{n-j+k-1}^{k-1}$: $n-j+k$个点选$k$个的方案数,但是$n$必须

$ans+=f[m][i][j] \times 2^{j\times (n-i)} \times 2^{\frac{(n-i)\times (n-i-1)}{2}}$

还剩$ x=n-i $个点未考虑
$2^{j\times x} $: 剩下的点可以和任何一个已经选了的点连边
$2^{\frac{x\times (x-1)}{2}} $:剩下的点之间互相连边

Code

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#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<ctime>
using namespace std;

#define mod 1000000007
#define re register
#define int long long 

class Quick_Input_Output{
    private:
        static const int S=1<<21;
        #define tc() (A==B&&(B=(A=Rd)+fread(Rd,1,S,stdin),A==B)?EOF:*A++)
        char Rd[S],*A,*B;
        #define pc putchar
    public:
        #undef gc
        #define gc getchar 
        inline int read(){
            int res=0,f=1;char ch=gc();
            while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=gc();}
            while(ch>='0'&&ch<='9') res=res*10+ch-'0',ch=gc();
            return res*f;
        }
        inline void write(int x){
            if(x<0) pc('-'),x=-x;
            if(x<10) pc(x+'0');
            else write(x/10),pc(x%10+'0');
        }
        #undef gc
        #undef pc
}I;
#define File freopen("timegate.in","r",stdin);freopen("timegate.out","w",stdout);
int n,m,ans,f[110][110][110],C[110][110],pw[10010];
int fpow(int a,int b){
    re int s=1ll;
    while(b){
        if(b&1) s*=a,s%=mod;
        a*=a;a%=mod;
        b>>=1ll; 
    }
    return s;
}
signed main(){
    File
    n=I.read();m=I.read();
    for(int i=0;i<=100;i++) C[i][0]=1;
    for(int i=1;i<=100;i++)
        for(int j=1;j<=100;j++) C[i][j]=C[i-1][j]+C[i-1][j-1],C[i][j]%=mod;
    pw[0]=1;for(int i=1;i<=10000;i++) pw[i]=pw[i-1]*2,pw[i]%=mod;
    f[0][1][1]=1;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            for(int k=1;k<=j;k++){
                for(int l=1;l<=j-k;l++){
                    if(n-j+k<k)continue;
                    if(i<m){
                        f[i][j][k]+=f[i-1][j-k][l]%mod*fpow(pw[l]-1,k)%mod*pw[k*(k-1)/2]%mod*C[n-j+k-1][k]%mod;
                        f[i][j][k]%=mod;
                    }else{
                        f[i][j][k]+=f[i-1][j-k][l]%mod*fpow(pw[l]-1,k)%mod*pw[k*(k-1)/2]%mod*C[n-j+k-1][k-1]%mod;
                        f[i][j][k]%=mod;
                    }
                }
            }
        }
    }
    for(int i=m+1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=i;j++){
            int x=n-i;
            ans+=f[m][i][j]%mod*pw[j*x]%mod*pw[x*(x-1)/2]%mod;
            ans%=mod;
        }
    }
    I.write(ans);putchar('\n');
    return 0;
}
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