Luogu P3232 [HNOI2013]游走 题解

题意

在一个无向图中,小$Z$以$1$为起点,每次以相等的概率选择当前顶点的某条边,沿着这条边走到下一个顶点,获得等于这条边的编号的分数。当小$Z$走到$N$(即终点),结束了这次游走,总得分为游走时经过的每一条边的编号之和。现在,请你对这$M$条边进行编号,使得小$Z$获得的总分的期望值最小。
输入保证:
1. $30$%的数据满足$N<=10$
2. $100$%的数据满足$2<=N<=500$且是一个无向简单连通图。

思路

首先要明白高斯消元

数学上,高斯消元法(或译:高斯消去法),是线性代数规划中的一个算法,可用来为线性方程组求解。但其算法十分复杂,不常用于加减消元法,求出矩阵的秩,以及求出可逆方阵的逆矩阵。不过,如果有过百万条等式时,这个算法会十分省时。一些极大的方程组通常会用迭代法以及花式消元来解决。当用于一个矩阵时,高斯消元法会产生出一个“行梯阵式”。高斯消元法可以用在电脑中来解决数千条等式及未知数。亦有一些方法特地用来解决一些有特别排列的系数的方程组。 ——转自百度百科

可以去过一过Luogu P3389 高斯消元的模板题
简单讲一下高斯消元。
如果有一个方程组,如:


将上面的方程转为下面的增广矩阵

接下来进行高斯消元。
首先找到一个第一列的数不为0的行(一般找第一列的数最大的行)(如果都为0就跳过当前步)
然后用它的第一列的数将下面行当前列的值化为0,变换过的初等矩阵与原矩阵等价,化为方程后依然成立
本矩阵第一列的数最大的为第三行就把第三行与第一行交换

然后下面行的当前列消去,如图

除了最后一列外,每一列都如此,最后得到上三角矩阵如图

这样我们就可以轻松求出$x1,x2,x3$了。
回归到这道题
我们设$deg_i$表示第$i$个点的度数,$f_i$表示第$i$个点期望经过次数:

由于当小$Z$到达$n$点时就停止游走了,因此不能考虑$n$点。接下来对$n−1$个$f_i$进行高斯消元求解。
设$g_i$表示第$i$条边期望经过次数:
$g_{i}=\frac{f_{u}}{d_{u}}+\frac{f_{v}}{d_{v}} \quad E_{i}=(u, v), u \neq n, v \neq n$
最后排序,贪心,因为要求期望值最小,那么就把最大的$g_i$编号标至最小,以此类推。

Code

高斯消元

// luogu-judger-enable-o2
#include<algorithm>
#include<bitset>
#include<complex>
#include<deque>
#include<exception>
#include<fstream>
#include<functional>
#include<iomanip>
#include<ios>
#include<iosfwd>
#include<iostream>
#include<istream>
#include<iterator>
#include<limits>
#include<list>
#include<locale>
#include<map>
#include<memory>
#include<new>
#include<numeric>
#include<ostream>
#include<queue>
#include<set>
#include<sstream>
#include<stack>
#include<stdexcept>
#include<streambuf>
#include<string>
#include<typeinfo>
#include<utility>
#include<valarray>
#include<vector>
#include<cctype>
#include<cerrno>
#include<cfloat>
#include<ciso646>
#include<climits>
#include<clocale>
#include<cmath>
#include<csetjmp>
#include<csignal>
#include<cstdarg>
#include<cstddef>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<ctime>
#define MAXN 510
#define eps 1e-8
using namespace std;
inline int read(){
    int res=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') res=res*10+ch-'0',ch=getchar();
    return res*f;
}
inline void write(int x){
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(x<10) putchar(x+'0');
    else{
        write(x/10);
        putchar(x%10+'0');
    }
}
//queue<int> q;
//set<int> s;
//priority_queue<int> q1;
//priority_queue<int,vector<int>,greater<int> > q2;
//list<int> l;
//stack<int> s;
int n;
double a[MAXN][MAXN];
void Gauss(){
    for(int i=0;i<n;i++){
        int Cho=i;
        for(int j=i;j<n;j++){
            if(fabs(a[j][i]-a[Cho][i])<=eps) Cho=j;
        }
        for(int j=0;j<=n;j++){
            swap(a[i][j],a[Cho][j]);//交换
        }
        if(fabs(a[i][i])<=eps){
            puts("No Solution\n");//系数为0,无解:0*x=a
            exit(0);
        }
        for(int j=i+1;j<=n;j++) a[i][j]/=a[i][i];//系数化为1
        for(int j=0;j<n;j++){
            if(i!=j) for(int k=i+1;k<=n;k++) a[j][k]-=a[j][i]*a[i][k];//计算
        }
    }
}
int main(){
    n=read();
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<=n;j++) a[i][j]=(double)read();
    Gauss();
    for(int i=0;i<n;i++) printf("%.2lf\n",a[i][n]);
    return 0;
}

游走

// luogu-judger-enable-o2
#include<algorithm>
#include<bitset>
#include<complex>
#include<deque>
#include<exception>
#include<fstream>
#include<functional>
#include<iomanip>
#include<ios>
#include<iosfwd>
#include<iostream>
#include<istream>
#include<iterator>
#include<limits>
#include<list>
#include<locale>
#include<map>
#include<memory>
#include<new>
#include<numeric>
#include<ostream>
#include<queue>
#include<set>
#include<sstream>
#include<stack>
#include<stdexcept>
#include<streambuf>
#include<string>
#include<typeinfo>
#include<utility>
#include<valarray>
#include<vector>
#include<cctype>
#include<cerrno>
#include<cfloat>
#include<ciso646>
#include<climits>
#include<clocale>
#include<cmath>
#include<csetjmp>
#include<csignal>
#include<cstdarg>
#include<cstddef>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<ctime>
#define MAXN 510
#define eps 1e-8
#define MAXM 5000010
using namespace std;
inline int read(){
    int res=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') res=res*10+ch-'0',ch=getchar();
    return res*f;
}
inline void write(int x){
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(x<10) putchar(x+'0');
    else{
        write(x/10);
        putchar(x%10+'0');
    }
}
//queue<int> q;
//set<int> s;
//priority_queue<int> q1;
//priority_queue<int,vector<int>,greater<int> > q2;
//list<int> l;
//stack<int> s;
double a[MAXN][MAXN];
void Gauss(int n){
    for(int i=0;i<n;i++){
        int Cho=i;
        for(int j=i;j<n;j++){
            if(fabs(a[j][i]-a[Cho][i])<=eps) Cho=j;
        }
        for(int j=0;j<=n;j++){
            swap(a[i][j],a[Cho][j]);
        }
        if(fabs(a[i][i])<=eps){
            puts("No Solution\n");
            exit(0);
        }
        for(int j=i+1;j<=n;j++) a[i][j]/=a[i][i];
        for(int j=0;j<n;j++){
            if(i!=j) for(int k=i+1;k<=n;k++) a[j][k]-=a[j][i]*a[i][k];
        }
    }
}
int n,m;
int fir[MAXM],nxt[MAXM],w[MAXM],son[MAXM],tot;
int deg[MAXN],u[MAXM],v[MAXM];
double f[MAXM],ans;
struct node{
    double g;
    int id;
}K[MAXM];
void add(int x,int y,int z){
    ++tot;
    nxt[tot]=fir[x];
    son[tot]=y;
    w[tot]=z;
    fir[x]=tot;
}
bool cmp(node qx,node qy){
    return qx.g>qy.g;
}
int main(){
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=m;i++){
        u[i]=read(),v[i]=read();
        add(u[i],v[i],0);
        add(v[i],u[i],0);
        deg[u[i]]++;deg[v[i]]++;
    }
    for(int i=1;i<n;i++){
        a[i-1][i-1]=1.0;
        for(int to,j=fir[i];j;j=nxt[j]){
            to=son[j];
            if(to!=n) a[i-1][to-1]=-1.0/(double)deg[to];//制作高斯消元矩阵(增广矩阵)
        }
        if(i==1) a[i-1][n-1]=1.0;
    }
    Gauss(n-1);//高斯消元
    for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=a[i-1][n-1];
    for(int i=1;i<=m;i++){
        if(u[i]!=n) K[i].g+=(f[u[i]]/(double)deg[u[i]]);//求g[i]
        if(v[i]!=n) K[i].g+=(f[v[i]]/(double)deg[v[i]]);
        K[i].id=m;
    }
    sort(K+1,K+m+1,cmp);
    for(int i=1;i<=m;i++) ans+=i*K[i].g;//贪心
    printf("%.3lf\n",ans);
    return 0;
}

本文部分内容引自百度百科bennettzSiyuan

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Source: github.com/k4yt3x/flowerhd
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