「NOIP模拟赛」欧拉口算 题解

题目描述

令 $C(n)$ 表示 把 $n$ 拆分成 $a\times b=n(a\leq b)$ 且 $a,b$ 的因子个数相同的方案数
给定一个整数$n$,$(1 \leq n \leq 100)$。
求出$C(n!)$。

思路

先把$n!$拆成若干个质数的乘积。
即:$n!={p_1}^{c_1} \times {p_2}^{c_2} \times \dots \times {p_{tot}}^{c_{tot}}$。
然后设$dp[i][j]$表示在$n!=a\times b$中$a$的目前约数个数为$i$,$b$的目前约数个数为$j$的方案数。
很显然,$dp[i\times (k+1)][j\times (c_p-k+1)]+=dp[i][j](0\leq k \leq c_p,1\leq p\leq tot)$。
答案就是$\sum{}{}dp[i][i]$。
当然,这样肯定会TLE。所以运用一下$\text{meet in the middle}$算法的思想。
分别求出$dp1,dp2$,分别表示2、3、5、7这四个素数下的方案与11、13…97素数下的方案。
这样的答案就是$\sum{}{}dp1[i][j]*dp2[i1][j1]$且满足$i/i1=j1/j$。
但是$dp$数组下标太大了,不会$hash$,所以就是用$map$了。

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