10213. 「一本通 6.4 例 5」Strange Way to Express Integers

题意

给定 $2n$ 个正整数 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 和 $m_1,m_2,\cdots ,m_n$,求一个最小的正整数 $x$,满足 $\forall i\in[1,n],x\equiv a_i\ (\bmod m_i\ )$,或者给出无解。

思路

其实题意就是求出:
$x\equiv a[1] \bmod m[1]$
$x\equiv a[2] \bmod m[2]$
$\dots$
$x\equiv a[n] \bmod m[n]$
的最小非负整数解$x$。
考虑将以上方程两两合并。比如方程一与方程二合并过程:
$x+k[1]\times m[1]=a[1]$
$x+k[2]\times m[2]=a[2]$
两式相减可得:
$k[1]\times m[1]-k[2]\times m[2]=a[1]-a[2]$
那么又得到一个形式为$ax+by=c$的方程。
$a=m[1],b=m[2],c=a[1]-a[2]$
通过拓展欧几里得可以求出该方程的一个解$(x0,y0)$。
并且可以求出它的最小非负整数解,其中$x=((c\times x0)\bmod b)\bmod b$
所以就可以将这两个方程合为一个方程:
$x \equiv (a[1]\times a[i])\bmod (m[1]+a[1]\times x)$
所以,合并到最后只剩下一个方程,形式为$x\equiv a \bmod b$,那么这个方程的最小非负整数解为$x=b$。
所以最后只需要输出合并到最后的$m[n]$即可。

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