10213. 「一本通 6.4 例 5」Strange Way to Express Integers

题意

给定 $2n$ 个正整数 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 和 $m_1,m_2,\cdots ,m_n$,求一个最小的正整数 $x$,满足 $\forall i\in[1,n],x\equiv a_i\ (\bmod m_i\ )$,或者给出无解。

思路

其实题意就是求出:
$x\equiv a[1] \bmod m[1]$
$x\equiv a[2] \bmod m[2]$
$\dots$
$x\equiv a[n] \bmod m[n]$
的最小非负整数解$x$。
考虑将以上方程两两合并。比如方程一与方程二合并过程:
$x+k[1]\times m[1]=a[1]$
$x+k[2]\times m[2]=a[2]$
两式相减可得:
$k[1]\times m[1]-k[2]\times m[2]=a[1]-a[2]$
那么又得到一个形式为$ax+by=c$的方程。
$a=m[1],b=m[2],c=a[1]-a[2]$
通过拓展欧几里得可以求出该方程的一个解$(x0,y0)$。
并且可以求出它的最小非负整数解,其中$x=((c\times x0)\bmod b)\bmod b$
所以就可以将这两个方程合为一个方程:
$x \equiv (a[1]\times a[i])\bmod (m[1]+a[1]\times x)$
所以,合并到最后只剩下一个方程,形式为$x\equiv a \bmod b$,那么这个方程的最小非负整数解为$x=b$。
所以最后只需要输出合并到最后的$m[n]$即可。

Code

#include<algorithm>
#include<bitset>
#include<complex>
#include<deque>
#include<exception>
#include<fstream>
#include<functional>
#include<iomanip>
#include<ios>
#include<iosfwd>
#include<iostream>
#include<istream>
#include<iterator>
#include<limits>
#include<list>
#include<locale>
#include<map>
#include<memory>
#include<new>
#include<numeric>
#include<ostream>
#include<queue>
#include<set>
#include<sstream>
#include<stack>
#include<stdexcept>
#include<streambuf>
#include<string>
#include<typeinfo>
#include<utility>
#include<valarray>
#include<vector>
#include<cctype>
#include<cerrno>
#include<cfloat>
#include<ciso646>
#include<climits>
#include<clocale>
#include<cmath>
#include<csetjmp>
#include<csignal>
#include<cstdarg>
#include<cstddef>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<ctime>
#define int long long 
using namespace std;
inline int read(){
    int res=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') res=res*10+ch-'0',ch=getchar();
    return res*f;
}
inline void write(int x){
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(x<10) putchar(x+'0');
    else{
        write(x/10);
        putchar(x%10+'0');
    }
}
void exgcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y){
    // ax+by=gcd(a,b) : (x,y)
    int t=0;
    if(b==0) d=a,x=1,y=0;
    else{
        exgcd(b,a%b,d,x,y);
        t=x;x=y;y=t-(a/b)*y;
    }
}
int n,m[100010],a[100010],M=1,t[100010],ans;
int gcd(int a,int b){
    return !b?a:gcd(b,a%b);
}
pair<int,int> solvefunction(int a,int b,int c){
    int g=gcd(a,b),a1=a/g,b1=b/g,c1=c/g,x1,y1,d;
    exgcd(a1,b1,d,x1,y1);
    return make_pair(x1,y1);
}
namespace Function{
    void solve(){
        for(int i=2,x,y,d;i<=n;i++){
            int C=m[i]-m[1],B=a[i],A=a[1],t=gcd(A,B);
            if(C%t!=0){
                puts("-1");
                return ;
            }
            A/=t;B/=t;C/=t;
            exgcd(A,B,d,x,y);
            x=((C*x)%B+B)%B;
            m[1]=m[1]+a[1]*x;
            a[1]=a[1]*B;
        }
        write(m[1]);putchar('\n');return ;
    }
}
signed main(){
    while(cin>>n){
        for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read(),m[i]=read();
        Function::solve();
    }
    return 0;
}
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Source: github.com/k4yt3x/flowerhd
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