题意

题目背景讲太多了吧。。。一句话题意： 有$Q$个询问，每个询问求出： $$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m C_j^i$$

对于$60$%的数据，$q \leq 10, n\leq100,m\leq100$。

对于$100$%的数据，$q \leq 1000,n\leq1000,m\leq1000$。

思路

对于60%的数据

直接暴力就好了。

预计得分：60分。

实际得分：70分。

O(∩_∩)O数据好水

直接用递归的方式记忆化求组合数。竟然可以拿70。

代码：

对于100%的数据

这里就有两种解法了：

1.利用前缀和

因为有许多题解都详细讲了，比如chen_zhe的题解，所以这里就不提了。

2.利用组合数的性质

这里先摆一条组合数的性质：$C(0,n)+C(1,n)+C(2,n)+…+C(n,n)=2^n$

这怎么证明呢？

根据二项式定理，可得：
$$(1+x)^n=C(0,n)+C(1,n)\times x +C(2,n)\times x^2+ … +C(n,n) \times x^n $$

令$x=1$，可得：

$$2^n=C(0,n)+C(1,n)+C(2,n)+(3,n)+…+C(n,n)$$

证毕。

什么？你不会二项式定理？百度百科

好了，再回归题目：

$$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m C_j^i$$

$$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m C_j^i=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^m C_j^i-\sum_{i=n+1}^m \sum_{j=1}^m C_j^i$$

于是求解这道题就变成了求解两个子问题：

1.求解$\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^m C_j^i$

根据上面的组合数的性质：$C(0,n)+C(1,n)+C(2,n)+…+C(n,n)=2^n$

我们可以得出：

$$\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^m C_j^i=\sum_{i=1}^m [C(1,m)+C(2,m)+…+C(m,m)]$$

$$\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^m C_j^i=\sum_{i=1}^m [C(0,m)+C(1,m)+C(2,m)+…+C(m,m)-C(0,m)]$$

$$\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^m C_j^i=\sum_{i=1}^m [2^m-C(0,m)]$$

那么$C(0,m)=?$

答案是1。

所以
$$\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^m C_j^i=\sum_{i=1}^m [2^m-1]$$

然后再把最外层的化开：

$$\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^m C_j^i=[2^1-1]+[2^2-1]+…+[2^m-1]$$

$$\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^m C_j^i=2^1+2^2+…+2^m-1 \times m$$

根据：$2^0+2^1+2^2+…+2^n=2^{n+1}-1$

$$\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^m C_j^i=2^{m+1}-1-2^0-1 \times m$$

$$\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^m C_j^i=2^{m+1}-2-1 \times m$$

$$\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^m C_j^i=2^{m+1}-2-m$$

2.求解$\sum_{i=n+1}^m \sum_{j=1}^m C_j^i$

$$\sum_{i=n+1}^m \sum_{j=1}^m C_j^i=\sum_{i=n+1}^m \sum_{j=1}^i C_j^i+\sum_{i=n+1}^m \sum_{j=i+1}^m C_j^i$$

又因为题目：其中当$i>j$的时候，钦定$C^i_j=0$

并且：$C(n,n)=1$

所以：
$$\sum_{i=n+1}^m \sum_{j=1}^m C_j^i=\sum_{i=n+1}^m {(1+\sum_{j=i+1}^m C_j^i)}$$

于是对于每一个询问，只需要求出$\sum_{i=n+1}^m \sum_{j=i+1}^m C_j^i$即可。

汇总

好了，两个子问题都结束了。

那么对于每个询问：

$$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m C_j^i=2^{m+1}-2-m-\sum_{i=n+1}^m {(1+ \sum_{j=i+1}^m C_j^i)}$$

Code