矩阵快速幂 学习笔记

举例1:Fibonacci

题目传送门

题意

$$f[1]=1,f[2]=1,f[3]=2,f[4]=3 \dots f[n]=f[n-1]+f[n-2]$$
那么输入$n$、$m$,求第n项Fibonacci的值$mod$ $m$,即$f[n]$ $mod$ $m$。
$$1\leq n \leq 2 \times 10^9$$
因为:$$f[i]=1 \times f[i-1]+1 \times f[i-2]$$$$f[i-1]=1\times f[i-1]+0 \times f[i-2]$$
所以,我们可以发现递推式可以转化为矩阵运算:
$$\left(\begin{array}{rcl}f[i]\f[i-1]\end{array} \right) = \left(\begin{array}{rcl}1 \quad 1\1\quad 0\end{array} \right) \times \left(\begin{array}{rcl}f[i-1]\f[i-2]\end{array} \right)=\left(\begin{array}{rcl}1 \quad 1\1\quad 0\end{array} \right)^2 \times \left(\begin{array}{rcl}f[i-2]\f[i-3]\end{array} \right)$$
那么可得:
$$\left(\begin{array}{rcl}f[n]\f[n-1]\end{array} \right)=\left(\begin{array}{rcl}1 \quad 1\1\quad 0\end{array} \right)^{n-2} \times \left(\begin{array}{rcl}f[2]\f[1]\end{array} \right)$$

举例2:Fibonacci求和

题目传送门

题意

输入$n$、$m$,求出Fibonacci的前$n$项的和 $mod$ $m$的值,即:$f[n]\quad mod\quad m$
$$f[n]=f[n-1]+f[n-2]$$
$$f[n-1]=f[n-2]+f[n-3],f[n]=2\times f[n-2]+f[n-3]$$
$$f[n-2]=f[n-3]+f[n-4],f[n]=f[n-2]+2\times f[n-3]+f[n-4]$$
$$f[n-3]=f[n-4]+f[n-5],f[n]=f[n-2]+f[n-3]+2\times f[n-4]+f[n-5]$$
以此类推,可得:
$$f[n]=f[n-2]+f[n-3]+f[n-4]+f[n-5]+\dots f[2]+2 \times f[1]$$
那么:
$$f[n-2]+f[n-3]+f[n-4]+f[n-5]+\dots f[2]+f[1]=f[n]-f[1]$$
$$f[n-2]+f[n-3]+f[n-4]+f[n-5]+\dots f[2]+f[1]=f[n]-1$$
也就是:
$$f[n]+f[n-1]+f[n-2]+f[n-3]+\dots f[2]+f[1]=f[n+2]-1$$
所以只需要将上题代码改一改就好了:
暂无评论

发送评论 编辑评论


				
|´・ω・)ノ
ヾ(≧∇≦*)ゝ
(☆ω☆)
(╯‵□′)╯︵┴─┴
 ̄﹃ ̄
(/ω\)
∠( ᐛ 」∠)_
(๑•̀ㅁ•́ฅ)
→_→
୧(๑•̀⌄•́๑)૭
٩(ˊᗜˋ*)و
(ノ°ο°)ノ
(´இ皿இ`)
⌇●﹏●⌇
(ฅ´ω`ฅ)
(╯°A°)╯︵○○○
φ( ̄∇ ̄o)
ヾ(´・ ・`。)ノ"
( ง ᵒ̌皿ᵒ̌)ง⁼³₌₃
(ó﹏ò。)
Σ(っ °Д °;)っ
( ,,´・ω・)ノ"(´っω・`。)
╮(╯▽╰)╭
o(*////▽////*)q
>﹏<
( ๑´•ω•) "(ㆆᴗㆆ)
😂
😀
😅
😊
🙂
🙃
😌
😍
😘
😜
😝
😏
😒
🙄
😳
😡
😔
😫
😱
😭
💩
👻
🙌
🖕
👍
👫
👬
👭
🌚
🌝
🙈
💊
😶
🙏
🍦
🍉
😣
Source: github.com/k4yt3x/flowerhd
颜文字
Emoji
小恐龙
花!
上一篇
下一篇