LuoguP3209 [HNOI2010] 平面图判定

Description

判定一个图是否为平面图的问题是图论中的一个重要问题。现在假设你要判定的是一类特殊的图是否是平面图,图中存在一个包含所有顶点的环,即存在哈密顿回路。

对于一个无向图 $G=(V,E)$,如果能够做到把它画在同一个平面上,使得 $\forall (a,b)(c,d)$,$a,b,c,d$ 两两不等的情况下,边 $(a,b)$ 和边 $(c,d)$ 没有交点,则称 $G$ 是平面图。

哈密顿回路指的是:在一个有 $n$ 个点的图中,一条从点 $x$ 出发,最后回到点 $x$,并且除点 $x$ 外所有点都只出现一次,总长度为 $n$ 的路径。

Solution

简单给出平面图的定义:无向图画在同一个平面上,任意两边没有交点。

对于每一条边,只有两种情况:

  1. 在哈密顿回路上,那么这条边无需其他判断。
  2. 在哈密顿回路外/里,那么这条边有两种选择:要么在外部,要么在里面。

由于第二种情况的两种选择,以及平面图的限制,这就转化为了个经典的 2-SAT 问题。

image-20210301204343887

显然如果边 $(x,y)$ 与边 $(u,v)$ 都在环内时,这个图就不是平面图。

那么我们只要顺次枚举两条边,判断是否有限制即可。

核心代码:

for(i=1;i<=p;i++) for(j=i+1;j<=p;j++){//枚举两条边
    u=rk[e[i].x],v=rk[e[i].y],x=rk[e[j].x],y=rk[e[j].y];//rk表示点在哈密顿回路上的序号
    if(u>v) swap(u,v);if(x>y) swap(x,y);
    if((u<x&&v>x&&v<y)||(u>x&&u<y&&v>y)) Add(i,j+p),Add(i+p,j),Add(j,i+p),Add(j+p,i);//判断是否有限制,并建图
}

然而发现这种方法的建图复杂度会高达 $O(M^2)$,对于 $1\leq M\leq 10^4$ 的本题是完全不能通过的。

那么接下来就要利用到平面图的一个重要性质:$m\leq 3n+6$。

具体性质的证明,楼上楼下都解释得很清楚了,这里就不再赘述。

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define W while
#define I inline
#define RI register int
#define LL long long
#define Cn const
#define CI Cn int&
#define gc getchar
#define D isdigit(c=gc())
#define pc(c) putchar((c))
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
using namespace std;
namespace Debug{
    Tp I void _debug(Cn char* f,Ty t){cerr<<f<<'='<<t<<endl;}
    Ts I void _debug(Cn char* f,Ty x,Ar... y){W(*f!=',') cerr<<*f++;cerr<<'='<<x<<",";_debug(f+1,y...);}
    Tp ostream& operator<<(ostream& os,Cn vector<Ty>& V){os<<"[";for(Cn auto& vv:V) os<<vv<<",";os<<"]";return os;}
    #define gdb(...) _debug(#__VA_ARGS__,__VA_ARGS__)
}using namespace Debug;
namespace FastIO{
    Tp I void read(Ty& x){char c;int f=1;x=0;W(!D) f=c^'-'?1:-1;W(x=(x<<3)+(x<<1)+(c&15),D);x*=f;}
    Ts I void read(Ty& x,Ar&... y){read(x),read(y...);}
    Tp I void write(Ty x){x<0&&(pc('-'),x=-x,0),x<10?(pc(x+'0'),0):(write(x/10),pc(x%10+'0'),0);}
    Tp I void writeln(Cn Ty& x){write(x),pc('\n');}
}using namespace FastIO;
Cn int N=210,M=10010,P=3*N+6;
int T,n,m,p,C[N],G[N][N],fir[P<<1],nxt[P*P<<2],son[P*P<<2],tot,dfn[P<<1],low[P<<1],stk[P<<1],col[P<<1],cnt,top,cc,rk[N];
struct Edge{int x,y;}e[P],E[M];
I void Add(CI x,CI y){nxt[++tot]=fir[x],fir[x]=tot,son[tot]=y;}
#define to son[i]
I void Tarjan(CI x){
    dfn[x]=low[x]=++cnt,stk[++top]=x;RI i;
    for(i=fir[x];i;i=nxt[i]) if(!dfn[to]) Tarjan(to),low[x]=min(low[x],low[to]);else if(!col[to]) low[x]=min(low[x],dfn[to]);
    if(dfn[x]==low[x]){col[x]=++cc;W(stk[top]^x) col[stk[top--]]=cc;top--;}
}
int main(){
    RI i,j,u,v,x,y,flg;read(T);W(T--){
        for(memset(G,0,sizeof(G)),memset(dfn,0,sizeof(dfn)),read(n,m),i=1;i<=m;i++) read(E[i].x,E[i].y),E[i].x>E[i].y&&(swap(E[i].x,E[i].y),0);//所有边按照编号小连向编号大,便于去掉哈密顿回路上的边
        for(i=1;i<=n;i++) read(C[i]),rk[C[i]]=i,i>1&&(G[min(C[i-1],C[i-1])][max(C[i-1],C[i])]=1,0);G[min(C[1],C[n])][max(C[1],C[n])]=1;//哈密顿回路上的边打上标记
        if(m>3*n+6){puts("NO");continue ;}//利用平面图的性质
        for(memset(col,0,sizeof(col)),flg=cnt=top=cc=p=0,i=1;i<=m;i++) if(!G[E[i].x][E[i].y]) e[++p]=E[i];
        for(memset(fir,0,sizeof(fir)),tot=0,i=1;i<=p;i++) for(j=i+1;j<=p;j++){
            u=rk[e[i].x],v=rk[e[i].y],x=rk[e[j].x],y=rk[e[j].y];
            if(u>v) swap(u,v);if(x>y) swap(x,y);
            if((u<x&&v>x&&v<y)||(u>x&&u<y&&v>y)) Add(i,j+p),Add(i+p,j),Add(j,i+p),Add(j+p,i);//建图
        }for(i=1;i<=(p<<1);i++) if(!dfn[i]) Tarjan(i);for(i=1;i<=p;i++) if(col[i]==col[i+p]){puts("NO");flg=1;break ;}if(!flg) puts("YES");
    }return 0;
}
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