浅谈 Manacher

基本概念

回文子串:字符串中反转后与反转前相同的子串。

最长回文子串:字符串中长度最大的回文子串。

第 $i$ 位回文半径:以字符串第 $i$ 位为中心的回文子串的最大长度的一半。

在处理回文子串的问题时,一般需要求出字符串每一位的回文半径。

为了避免奇偶讨论和边界问题,我们可以在每一位字符两侧添加同一个特殊字符,在字符串的首尾各添加一个不同的特殊字符,如将 abbabcba 变为 $#a#b#b#a#b#c#b#a#@

Manacher 算法流程

在 Manacher 算法中,我们需要添加两个辅助变量 $mx$ 和 $p$,分别表示已有的回文半径覆盖到的最右边界(边界不含)和该回文子串的中心位置,显然有 $mx=p+R[p]$。($R_i$ 表示第 $i$ 位的回文半径)

计算 $R_i$ 时,我们可以先给它定一个下界,这样可以节省时间复杂度。

令 $j=2p-i$,分以下三种情况讨论:

  1. $mx\leq i$,向右覆盖最远的回文串没有覆盖到 $i$ 位置,而因为恒有 $R_i\ge 1$,所以 $R_i$ 的下界为 $1$。
  2. $mx-i>R_j$,以第 $j$ 位为中心的回文子串包含于以第 $p$ 位为中心的回文子串,由于 $i$ 和 $j$ 关于 $p$ 对称,那么以第 $i$ 位为中心的回文子串必也包含于以第 $p$ 位为中心的回文子串,故有 $R_i=R_j$。
  3. $mx-i\leq R_j$,以第 $j$ 位为中心的回文子串不一定包含于以第 $p$ 位为中心的回文子串,但由对称可知,$R_i\ge mx-i$。
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Code

例题:不交回文串

评论

  1. 黑果小屋
    Android Chrome 83.0.4103.106
    2月前
    2021-3-01 19:03:14

    万能头文件啊!

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