POJ3252 Round Numbers 题解

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定义 Round Numbers 为在二进制下,0 的个数大于等于 1 的个数的数。

求范围内 Round Numbers 的个数。

$1 ≤ Start < Finish ≤ 2,000,000,000 $

Solution

显然问题可以转化成求 $[1,N]$ 的 Round Numbers 的个数。

此时我们可以把 $N$ 转化成长度为 $m$ 的二进制数。

而 Round Numbers 的个数就由两部分组成:

  • 二进制数字长度为 $[0,m-1]$,此时直接组合数计算即可。
  • 二进制数字长度为 $m$,此时要注意该二进制数字不能比 $N$ 本身大,需要处理一下边界。

注意当二进制数字的长度确定时,其最高位不能为 $1$,所以算组合数的时候不能算进去。

$$Ans=\sum_{i=1}^{m-2}\sum_{j=i/2+1}^{j<=i}C_i^j+\sum_{i=m-1}^{i>=1}\sum_{j=(m+1)/2-cnt-1}^{j<i}C_{i-1}^j$$

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