数位dp 学习笔记

前言

数位dp真的好简单啊qwq

什么是数位dp

让我们以这道题为例:Luogu P2657 [SCOI2009]windy数
如果您很懒不想点开题面可以看下面:
windy定义了一种windy数。不含前导零且相邻两个数字之差至少为2的正整数被称为windy数。 windy想知道,
在A和B之间,包括A和B,总共有多少个windy数?
100%的数据,满足 1 <= A <= B <= 2000000000 。 简单的说就是在$[L,R]$区间中,相邻两个数字之差都大于等于$2$的数字的个数。

暴力做法

什么windy不windy的,直接for!!!
伪代码(不标准的,大雾:

这样显然会TLE。
那么考虑正解——数位dp

数位dp

先考虑类似于前缀和的思想。
要求$L~R$的个数就相当于求$1\text{~}R$的个数-$1\text{~}L-1$的个数。
接下来考虑如何求出$1\text{~}n$的个数。
我们可以先将$n$按照$10$进制来分解,比如说这个数:$19260817$。
那么我们可以枚举每一位,再枚举$0\text{~}9$来统计答案。
举个栗子:
我们枚举出了最高位上的数字是$1$,那么第二位可以是$0\text{~}9$的任意一个数,但是这个数与$1$之差的绝对值一定要大于等于$2$(满足题意)。于是我们可以这样:
(依旧是丑陋的伪代码)

当然,为了方便转移,我们要将$ans++$改成$DP(…)$。
相信聪明的小学生一定会发现,不一定可以枚举到$9$,换句话说,该位数字的上界不一定是$9$。
比如说这种情况(还是$19260817$):
$\texttt{1926081-}$
显然这一位不能成为$8$,因为$19260818 > 19260817$。
那么由此,我们可以总结出,这个上界其实就是$n$。
但是我们是按照位来转移的,那么怎么限定条件呢?
显然,我们可以用$lim$来表示,转移到现在前面几位有没有达到最大值,如果没达到,那么这位可以$0\text{~}9$,否则这个位只能$0~A[x]$。不理解?举个栗子:
$\texttt{1926081-}$的$lim=1$。
$\texttt{1926080-}$和$\texttt{1925901-}$的$lim=0$。
相信聪明机智的你肯定明白了。
那么可以考虑最后一种特殊的情况:前导$0$。
由题意可知,前导$0$并不算在数字里,所以如果前面是前导$0$可以不用考虑限制条件(相邻绝对值为$2$),由此,可以用一个处理技巧,将前导$0$的$las$处理为$-2$,可以结合代码理解。

Code

练习题




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