CF708E Student's Camp

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有一个 $(n+2) \times m$ 的网格。

除了第一行和最后一行,其他每一行每一天最左边和最右边的格子都有 $p$ 的概率消失。

求 $k$ 天后,网格始终保持连通的概率。

$n,m \le 1.5 \times 10^3$,$k \le 10^5$,答案对 $10^9+7$ 取模。

Tutorial

不妨设 $f_{i,l,r}$ 表示进行到第 $i$ 行,剩 $[l,r]$ 的格子的概率,有:
$$
f_{i,l,r} = p_{l,r} \sum_{l_p,r_p} f_{i-1,l_p,r_p} [[l_p,r_p]\cap [l,r] \not = \emptyset]
$$
其中 $p_{l,r}$ 表示一行打到只剩 $[l,r]$ 的概率,有:
$$
\begin{align}
&p_{l,r} = P_{l-1}P_{m-r}\\
&P_{i}=\binom ki p^i(1-p)^{k-i}
\end{align}
$$
直接转移是 $O(nm^4)$,显然不行,考虑优化。

由于限制的是区间交集问题,我们不妨设 $Fl_{i,j}$,$Fr_{i,j}$,$Sl_{i,j}$,$Sr_{i,j}$ 表示各个前缀和,即:
$$
\begin{align}
&Fl_{i,l}=\sum_{r\ge l} f_{i,l,r}\\
&Fr_{i,r}=\sum_{l\leq r} f_{i,l,r}\\
&Sl_{i,L}=\sum_{l,r\ge L} f_{i,l,r} = \sum_{l\ge L} Fl_{i,l}\\
&Sr_{i,R}=\sum_{l,r\leq R} f_{i,l,r}=\sum_{r\leq R} Fr_{i,r}
\end{align}
$$
由于对称性,容易发现:
$$
Fl_{i,j}=Fr_{i,m+1-j}\\
Sl_{i,j}=Sr_{i,m+1-j}
$$
考虑转移 $Fr_{i,j}$:
$$
\begin{align}
Fr_{i,r}& =\sum_{l\leq r} p_{l,r}\sum_{l_p,r_p}f_{i-1,l_p,r_p}\\
& = \sum_{l\leq r} p_{l,r} (Sr_{i-1,m}-Sr_{i-1,l-1}-Sl_{i-1,r+1})\\
& = \sum_{l\leq} P_{l-1}P_{m-r}(Sr_{i-1,m}-Sr_{i-1,l-1}-Sr_{i-1,m-r})\\
& = P_{m-r} ((Sr_{i-1,m}-Sr_{i-1,m-r})\sum_{l\leq r}P_{l-1})-P_{m-r}\sum_{l\leq r}P_{l-1}Sr_{i-1,l-1}
\end{align}
$$
发现,设 $G_r=\sum_{l\leq r}P_{l-1}$,$H_r=\sum_{l\leq r}P_{l-1}Sr_{i-1,l-1}$,于是转移就能 $O(nm)$ 求解啦。

Solution

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#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define W while
#define I inline
#define RI register int
#define LL long long
#define Cn const
#define CI Cn int&
#define gc getchar
#define D isdigit(c=gc())
#define pc(c) putchar((c))
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
using namespace std;
namespace Debug{
Tp I void _debug(Cn char* f,Ty t){cerr<<f<<'='<<t<<endl;}
Ts I void _debug(Cn char* f,Ty x,Ar... y){W(*f!=',') cerr<<*f++;cerr<<'='<<x<<",";_debug(f+1,y...);}
Tp ostream& operator<<(ostream& os,Cn vector<Ty>& V){os<<"[";for(Cn auto& vv:V) os<<vv<<",";os<<"]";return os;}
#define gdb(...) _debug(#__VA_ARGS__,__VA_ARGS__)
}using namespace Debug;
namespace FastIO{
Tp I void read(Ty& x){char c;int f=1;x=0;W(!D) f=c^'-'?1:-1;W(x=(x<<3)+(x<<1)+(c&15),D);x*=f;}
Ts I void read(Ty& x,Ar&... y){read(x),read(y...);}
Tp I void write(Ty x){x<0&&(pc('-'),x=-x,0),x<10?(pc(x+'0'),0):(write(x/10),pc(x%10+'0'),0);}
Tp I void writeln(Cn Ty& x){write(x),pc('\n');}
}using namespace FastIO;
Cn int N=1.5e3+10,X=1e9+7,K=1e5+10;
int n,m,p,k,P[N],fac[K],ifac[K],G[N],Sr[N][N],Fr[N][N],H[N];
I int QP(RI a,RI b){RI s=1;W(b) b&1&&(s=1LL*s*a%X),a=1LL*a*a%X,b>>=1;return s;}
I int C(CI n,CI m){return 1LL*fac[n]*ifac[m]%X*ifac[n-m]%X;}
int main(){
RI i,j,x,y;for(read(n,m,x,y,k),p=1LL*x*QP(y,X-2)%X,fac[0]=i=1;i<=k;i++) fac[i]=1LL*fac[i-1]*i%X;
for(ifac[k]=QP(fac[k],X-2),i=k-1;~i;i--) ifac[i]=1LL*ifac[i+1]*(i+1)%X;
for(i=0;i<=min(m,k);i++) P[i]=1LL*C(k,i)*QP(p,i)%X*QP(1-p,k-i)%X;
for(i=1;i<=m;i++) G[i]=(G[i-1]+P[i-1])%X;
for(Fr[0][m]=Sr[0][m]=1,i=1;i<=n;i++){
for(j=1;j<=m;j++) H[j]=(H[j-1]+1LL*P[j-1]*Sr[i-1][j-1]%X)%X;
for(j=1;j<=m;j++) Fr[i][j]=(1LL*P[m-j]*(Sr[i-1][m]-Sr[i-1][m-j])%X*G[j]%X-1LL*P[m-j]*H[j]%X)%X;
for(j=1;j<=m;j++) Sr[i][j]=(Sr[i][j-1]+Fr[i][j])%X;
}return writeln((Sr[n][m]+X)%X),0;
}