P2257 YY的GCD

Description

题目链接：P2557

有 $T$ 组数据，求：

$$\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m[gcd(i,j)\in prime]$$

$T\leq 10^4,n,m\leq 10^7$

Solution

显然可以枚举质数，所以原式可以化为：

$$\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\sum\limits_{k=1}^{\min{n,m}}[gcd(i,j)=k](k\in prime)$$

根据基本套路，可以把 $[gcd(i,j)=k]$ 化为 $[gcd(i,j)=1]$：

$$\sum\limits_{k=1}^{\min{n,m}}\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{k} \rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac{m}{k}\rfloor}[gcd(i,j)=1](k\in prime)$$

由莫比乌斯函数性质可得：

$$\sum\limits_{k=1}^{\min{n,m}}\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{k} \rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac{m}{k}\rfloor}\sum\limits_{dgcd(i,j)}\mu(d)(k\in prime)$$

再根据基本套路，可以变换枚举顺序，可得：

$$\sum\limits_{k=1}^{n}\sum\limits_{d=1}^{\lfloor\frac{n}{d} \rfloor}\mu(d)\times \lfloor \frac{n}{kd} \rfloor\times \lfloor \frac{m}{kd} \rfloor(k\in prime)$$

此时时间复杂度为 $\mathcal{O}(\text{质数个数}\times \sqrt N)$，显然会 TLE。

此时就有一个常用的技巧可以降低时间复杂度。

设 $T=kd$，有

$$\sum\limits_{T=1}^n \lfloor \frac{n}{T}\rfloor\times \lfloor \frac{m}{T}\rfloor \sum\limits_{kT,k\in prime}\mu(\frac{T}{k})$$

显然后面的式子可以直接预处理。

暂且将这种常用的技巧理解为通过变换枚举顺序，使得某一式子可以预处理化吧。

然后时间复杂度就变成了 $\mathcal{O}(T\sqrt N+N)$

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define W while
#define I inline
#define RI register int
#define LL long long
#define Cn const
#define CI Cn int&
#define gc getchar
#define D isdigit(c=gc())
#define pc(c) putchar((c))
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
using namespace std;
namespace Debug{
    Tp I void _debug(Cn char* f,Ty t){cerr<<f<<'='<<t<<endl;}
    Ts I void _debug(Cn char* f,Ty x,Ar... y){W(*f!=',') cerr<<*f++;cerr<<'='<<x<<",";_debug(f+1,y...);}
    Tp ostream& operator<<(ostream& os,Cn vector<Ty>& V){os<<"[";for(Cn auto& vv:V) os<<vv<<",";os<<"]";return os;}
    #define gdb(...) _debug(#__VA_ARGS__,__VA_ARGS__)
}using namespace Debug;
namespace FastIO{
    Tp I void read(Ty& x){char c;int f=1;x=0;W(!D) f=c^'-'?1:-1;W(x=(x<<3)+(x<<1)+(c&15),D);x*=f;}
    Ts I void read(Ty& x,Ar&... y){read(x),read(y...);}
    Tp I void write(Ty x){x<0&&(pc('-'),x=-x,0),x<10?(pc(x+'0'),0):(write(x/10),pc(x%10+'0'),0);}
    Tp I void writeln(Cn Ty& x){write(x),pc('\n');}
}using namespace FastIO;
Cn int N=1e7+10;
int T,n,m,mu[N],p[N],v[N],tot,F[N];
I void GM(){
    RI i,j;for(mu[1]=1,i=2;i<N;i++) for(!v[i]&&(mu[p[++tot]=i]=-1,0),j=1;j<=tot&&i*p[j]<N;j++)
    if(v[i*p[j]]=1,i%p[j]) mu[i*p[j]]=-mu[i];else break ;
    for(i=1;i<=tot;i++) for(j=1;j*p[i]<N;j++) F[j*p[i]]+=mu[j];for(i=1;i<N;i++) F[i]+=F[i-1];
}
I LL S(CI n,CI m){
    RI i,j;LL X=0;for(i=1;i<=min(n,m);i=j+1) j=min(n/(n/i),m/(m/i)),X+=1LL*(F[j]-F[i-1])*(n/i)*(m/i);return X;
}
int main(){
    GM(),read(T);W(T--) read(n,m),writeln(S(n,m));return 0;
}