Luogu P4366 [Code+#4]最短路 题解

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Description

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给定一张 $N$ 个点的图，$M$ 条边，另外任意两个点之间还有一条权值为 $(i \oplus j) \times C$ 的边，问 $A$ 到 $B$ 的最短路。

$1\leq N \leq 10^5,1\leq M \leq 5\times 10^5$

Solution

首先，暴力建图肯定是不行的，$N$ 个点之间两两连边就已经 $10^{10}$，考虑看一下 $xor$ 的规律。

比如$(001)_2$和$(100)_2$连边，边权为$2^0+2^2$，那么我们考虑把边拆开，拆成$(001)_2$和$(000)_2$连边，再$(000)_2$和$(100)_2$连边，边权和是一样的。

也就是说，对于每一个点$i$，我们只需要建一条$i$到$i \oplus 2^k$的边即可。

另外：

关于SPFA，她死了

所以，我们只能使用堆优化Dijkstra。

还有，注意范围，$0$号节点也要包括进去。

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read(){
int res=0,f=1;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)) f=ch=='-'?-1:f,ch=getchar();
while(isdigit(ch)) res=(res<<3)+(res<<1)+(ch&15),ch=getchar();
return res*f;
}
inline void write(int x){
if(x<0) putchar('-'),x=-x;
if(x<10) putchar(x+'0');
else write(x/10),putchar(x%10+'0');
}
int n,m,c,fir[100010],nxt[500010+20*100010],son[500010+20*100010],w[500010+20*100010],tot,A,B,vis[1000010],dis[1000010];
inline void add(int x,int y,int z){++tot;nxt[tot]=fir[x];fir[x]=tot;son[tot]=y;w[tot]=z;}
inline void build(){
for(int i=0;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j<<=1)
if((i^j)<=n) add(i,i^j,j*c);
}
priority_queue<pair<int,int> > q;
inline void Dij(){
while(!q.empty()) q.pop();
q.push(make_pair(0,A));
memset(dis,63,sizeof(dis));dis[A]=0;
memset(vis,0,sizeof(vis));
while(!q.empty()){
pair<int,int> u=q.top();q.pop();
while(vis[u.second]&&!q.empty()) u=q.top(),q.pop();
if(vis[u.second]) return ;
vis[u.second]=1;
for(int to,i=fir[u.second];i;i=nxt[i]){
to=son[i];
if(dis[to]>dis[u.second]+w[i]){
dis[to]=dis[u.second]+w[i];
q.push(make_pair(-dis[to],to));
}
}
}
}
int main(){
n=read(),m=read(),c=read();
build();
for(int x,y,z,i=1;i<=m;i++) x=read(),y=read(),z=read(),add(x,y,z);
A=read(),B=read();
Dij();
return write(dis[B]),0;
}