loj 6062 「2017 山东一轮集训 Day2」Pair 题解

(Updated: )
oi
,

Description

题目链接

给出一个长度为 $n$ 的数列 $\{a_i\}$ 和一个长度为 $m$ 的数列 $\{b_i\}$，求 $\{a_i\}$ 有多少个长度为 $m$ 的连续子数列能与 $\{b_i\}$ 匹配。

两个数列可以匹配，当且仅当存在一种方案，使两个数列中的数可以两两配对，两个数可以配对当且仅当它们的和不小于 $h$。

对于$100\%$的数据，$1\leq m\leq n \leq 150000$。

Solution

很明显，我们可以把检验配对的不等式变形：

$$a_i + b_i \ge h$$

$$a_i \ge h- b_i$$

令$b_i’=h-b_i$

要使其可完全匹配，那么应将选出的$a_i$和$b_i’$分别按照从大到小（或从小到大）排序，然后扫一遍，判断其是否满足这个等式即可。

但是如果这样的话复杂度就是$O((N-M+1)\times M)$（从长度为$n$中选长度为$m$的连续子数列有$(n-m+1)$种选法）

很明显，这个复杂度不够优秀。

那么我们可以用线段树来优化这道题。

令$b_1’ \ge b_2’ \ge b_3’ \ge \dots \ge b_m’$，则对于每个$b_i’$都应该有$\ge i$个$a$大于等于它。

所以，我们可以将$a,b’$离散化，对于每个$b_i’$，在线段树上的$b_i’$位置上减$i$，代表它需要$i$个数来大于等于它；对于每个$a_i$，在线段树上的$[1,a_i]$上加$1$，代表这些位置上的都比它小，为其产生贡献。

那么最后只要判断下线段树上是否每个点都是非负数即可。

注意，当两个$b_i’$相同时，只需要取$i$更大的即可，不能叠加。

那么，如何来判断线段树上是否每个点都是非负数呢？

只需要记录一个最小值，若最小值都大于等于$0$，那么肯定完全匹配。

所以，我们每次枚举一下区间，将$[1,a_{i-m-1}]$减去$1$，并将$[1,a_i]$加上$1$（移动区间），然后判断下最小值是否大于等于$0$即可。

复杂度非常优秀$O((N-M+1)\times logN)$

Code

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read(){
int res=0,f=1;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)) f=ch=='-'?-1:f,ch=getchar();
while(isdigit(ch)) res=(res<<3)+(res<<1)+(ch&15),ch=getchar();
return res*f; 
} 
int n,m,h,a[150010],b[150010],q[300010],tot,ans;
inline int cmp(int x,int y){return x>y;}
struct node{
int mn,tag;
}tr[300010<<2];
inline void psd(int x){
if(!tr[x].tag) return ;
tr[x<<1].mn+=tr[x].tag;
tr[x<<1].tag+=tr[x].tag;
tr[x<<11].mn+=tr[x].tag;
tr[x<<11].tag+=tr[x].tag;
tr[x].tag=0;
}
inline void pup(int x){
tr[x].mn=min(tr[x<<1].mn,tr[x<<11].mn);
}
inline void upd(int x,int l,int r,int L,int R,int v){
if(L<=l&&r<=R){
tr[x].mn+=v;
tr[x].tag+=v;
return ;
}
psd(x);
int mid=l+r>>1;
if(L<=mid) upd(x<<1,l,mid,L,R,v);
if(R>mid) upd(x<<11,mid+1,r,L,R,v);
pup(x);
}
inline void build(int x,int l,int r){
if(l==r){
tr[x].mn=0;
tr[x].tag=0;
return ;
}
int mid=l+r>>1;
build(x<<1,l,mid);
build(x<<11,mid+1,r);
}
inline int check(){
return tr[1].mn>=0;
}
int main(){
n=read(),m=read(),h=read();
for(int i=1;i<=m;i++) b[i]=read();
for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
for(int i=1;i<=m;i++) b[i]=h-b[i];
sort(b+1,b+m+1,cmp);
for(int i=1;i<=m;i++) q[i]=b[i];
for(int i=1;i<=n;i++) q[i+m]=a[i];
sort(q+1,q+m+n+1);
tot=unique(q+1,q+m+n+1)-q-1;
build(1,1,tot);
for(int i=1;i<=m;i++) b[i]=lower_bound(q+1,q+tot+1,b[i])-q;
for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=lower_bound(q+1,q+tot+1,a[i])-q;
for(int i=1;i<=m;i++)
if(b[i]<h) upd(1,1,tot,b[i],b[i],b[i]==b[i-1]?-1:-i);
for(int i=1;i<=m;i++) upd(1,1,tot,1,a[i],1);
ans=check();
for(int i=m+1;i<=n;i++) upd(1,1,tot,1,a[i-m],-1),upd(1,1,tot,1,a[i],1),ans+=check();
printf("%d\n",ans);
}