隔板法 学习笔记

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前言

$2019.10.19$就$CSP$第一轮了（好慌

隔板法定义

在组合数学中，隔板法（又叫插板法）是排列组合的推广，主要用于解决不相邻组合与追加排列的问题。 隔板法就是在$n$个元素间插入$(b-1)$个板，即把$n$个元素分成$b$组的方法。——百度百科

普通隔板法

经典问题：求$x+y+z=10$的正整数解的个数。

这个问题与此问题相同：如图，有$10$个小球，现要插入$2$块板，问总共有多少种方法？ 就比如这种情况：当$x=2,y=5,z=3$时，等式成立，同时转换成的隔板问题的情况是这样的： 很显然，$10$个小球之间有$10-1=9$个空隙，插$2$块板，不难得出答案就是$C_{2}^{9}=36$种方法。 （不会组合数？那就戳这里）

添元素隔板法

例$1$：求$x+y+z=10$的非负整数解的个数。

我：这题和上题不是一模一样吗（小声bb 大佬：对对对，这题和上题一样水 （言归正传 本题注意是非负整数解，所以$x,y,z$可以有$0$（废话） 所以我们可以在等式两边同时加上$3$ 然后等式就变成了$x+y+z+3=10+3$ 整理一下：$(x+1)+(y+1)+(z+1)=13$ 然后设$A=x+1,B=y+1,C=z+1$，代回原式：$A+B+C=13$ 这格式好像和上题一模一样… 因为$x,y,z$为非负整数，那么显而易见$A,B,C$均为正整数，所以$A,B,C$的方案数可以通过上一题的方法快速地求出，即：$C_{2}^{12}=66$。 因为每一组得出的$A,B,C$对应着唯一一组$x,y,z$，所以$x,y,z$的方案数也是$66$。

例$2$：有一类自然数，从第三位开始每一位上的数字都是前两位数字之和，直至不能写为止，问这类自然数有多少个。

首先，我们假设这类自然数的前两位数为$a,b$，显然，确定了前两位数，这个数字就确定了（因为每个数都要到不能写为止）。 根据题意，这个数必须有第三位，所以$a+b\leq 9$，并且$a$是最高位$a\not=0$。 我：那我还是照着之前的思路，放$9$个球，插$1$个板，如下图，答案就是$C_{1}^{8}=8$。 大佬：不对啊，$a\not=0$，但是$b$可以为$0$啊，所以等式两边同时$+1$，所以$a+(b+1)\leq 10$，所以放$10$个球，插$1$个板，如下图，答案就是$C_{1}^{9}=9$。 我：原来是这样啊。 （这时，奆佬走了过来把纸撕了） 奆佬：不不不，你们都错了。 奆佬：$a+b$不一定等于$9$，所以我们应该再设一个变量$c$，使得$a+b+c=9(c\ge 0)$，然后等式两边同时加$2$，所以$a+(b+1)+(c+1)=11$，所以放$11$个球，插$2$个板，如下图，答案就是$C_{2}^{10}=45$。

添板插板法

例题：有一类自然数，从第三位开始每一位上的数字都是前两位数字之和，直至不能写为止，问这类自然数有多少个。（同上题）

奆佬：上题还可以用添板插板法做 我：（大吃一惊） 我们还是设前两位为$a,b$，那么$a+b\leq 9,a\not=0$。 我们可以在前$9$个空位中插$2$个隔板，分成$3$组，当$b=0$时，则在第$10$个空位上插隔板。 那么答案就是总共在$10$个空位插$2$个隔板，$C_{2}^{10}=45$。

选板法

例题：有$10$颗糖，每天至少吃一颗，吃完为止，问有多少种吃法。

(我吃糖你还管我 如上图，有$9$个空位，可以插入$9$个板，每个板可以放或不放，所以总共有$2^9=512$种吃法。 我：哇，有这么多种吃法，我每$10$天试一种，那我要吃多少天呢…

分类插板

例题：有$15$颗糖，每天至少吃三颗，吃完为止，问有多少种吃法。

(这题好像和上一题又是一模一样 因为题目中并没有规定要吃几天，也没有规定每天一定要吃几颗，所以需要分类讨论。 当吃$1$天时，答案就是$1$种（一天吃$15$颗糖） 当吃$2$天时，每天先吃$2$块，即有$11$颗糖，每天至少吃$1$颗，吃$2$天，有$C_{1}^{10}=10$种情况。 当吃$3$天时，每天先吃$2$块，即有$9$颗糖，每天至少吃$1$颗，吃$3$天，有$C_{2}^{8}=28$种情况。 当吃$4$天时，每天先吃$2$块，即有$7$颗糖，每天至少吃$1$颗，吃$4$天，有$C_{3}^{6}=20$种情况。 当吃$5$天时，答案就是$1$种（每天吃$3$颗糖） 所以最终的答案就是$1+10+28+20+1=60$种吃法。

逐步插板

例题：在一张节目单中原有$6$个节目，若保持这些节目相对次序不变，再添加$3$个节目，共有几种情况？

可以用一个节目去插$7$个空位，再用第二个节目去插$8$个空位，用最后个节目去插$9$个空位。 所以一共是$C_{1}^{7}\times C_{1}^{8}\times C_{1}^{9}=504$种。

总结

隔板法应用的条件

分成的组别要不同

分的每组至少有$1$个元素

$n$个元素不同

隔板法就是在$n$个元素间$(n-1)$个空中插入$k$个板，可以把$n$个元素分成$k+1$组的方法

完结撒花❀O(∩_∩)O❀