NOIP2019模拟赛（五）03.31 解题报告

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NOIP2019模拟赛（五）03.31

A. 「NOIP模拟赛」电阻

题意

询问要得出一个电阻值为$\frac{a}{b}$的元件至少需要多少个电阻值为$1$的电阻。 元件由$3$种方式组成：

  1. 一个电阻
  2. 一个元件与一个电阻串联
  3. 一个元件与一个电阻并联

思路

并联电阻阻值计算

总电阻值为:$总R_总=\frac{1}{\frac{1}{R_1]}+\frac{1}{R_2]}+…+\frac{1}{R_n]}}$ 特别的，两个电阻并联总值为：$R=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$

串联电阻阻值计算

（不要问我为什么我把电阻搞成了灯泡，凑合着看吧） 总电阻值为：$总R_总=R_1+R_2+…+R_n$

回归到这道题目

考虑一组较为简单的样例，$R=\frac{11}{7}\Omega$ 由于$\frac{11}{7}>1$，所以这肯定是两个元件串联而成的，其中一个元件的阻值为$1$，另外一个元件的阻值为$\frac{4}{7}$。 其中的一个元件阻值为$1$，思考：那么如果是更大的数呢？其实也差不多，就是若干个电阻值为$1$的电阻串联起来的，因为分成的这部分的电阻值其实为整数。 另外的一个元件阻值为$\frac{4}{7}$，因为$\frac{4}{7}<1$，所以它是由两个元件并联而成的，我们可以对它取倒数（根据并联公式），得到$\frac{7}{4}=1+\frac{3}{4}$，继续拆分$\frac{3}{4}$，可得$\frac{3}{4}<1$，那么再倒数，得到$\frac{4}{3}=1+\frac{1}{3}$，然后继续拆分$\frac{1}{3}$，可得$\frac{1}{3}<1$，再倒数可得$3$，因为这已经不是分数，而是整数了，那么就不需要继续拆分了。 然后会很惊奇的发现，这个过程很像$gcd$。($gcd$:我躺着也中枪) 发现：并联其实就是取倒数。。。 那么就好了。

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#include<cstddef>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<ctime>
#define int long long
using namespace std;
inline int read(){
    int res=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') res=res*10+ch-'0',ch=getchar();
    return res*f;
}
inline void write(int x){
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(x<10) putchar(x+'0');
    else{
        write(x/10);
        putchar(x%10+'0');
    }
}
//queue<int> q;
//set<int> s;
//priority_queue<int> q1;
//priority_queue<int,vector<int>,greater<int> > q2;
//list<int> l;
//stack<int> s;
int a,b,ans=0;
signed main(){
//  freopen("A.in","r",stdin);freopen("A.out","w",stdout);
    a=read();b=read();
    while(a!=0&&b!=0){
        if(a<b) swap(a,b);
        ans+=a/b;
        a%=b;
    }
    write(ans);putchar('\n');
    return 0;
}
//并联:1/(1/R[1]+1/R[2]+...+1/R[n])
//串联:R[1]+R[2]+...+R[n]
//并联2:(R[1]*R[2])/(R[1]+R[2])

B. 「NOIP模拟赛」找零

题意

由$n$种硬币，每种面值的硬币有无数个。 希望用最少的硬币组合出$1\sim x$的任意值。 问最少需要多少硬币？

思路

考虑已经能组合出$1\sim x$的数值 那么下一个硬币取$x$以内最大的数$k$ 使能组合出$1\sim x+k$ 那么就用$upper\text{_}bound$就好了

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#include<stdexcept>
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#include<valarray>
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#include<cerrno>
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#include<csignal>
#include<cstdarg>
#include<cstddef>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<ctime>
#define int long long
using namespace std;
inline int read(){
    int res=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') res=res*10+ch-'0',ch=getchar();
    return res*f;
}
inline void write(int x){
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(x<10) putchar(x+'0');
    else{
        write(x/10);
        putchar(x%10+'0');
    }
}
//queue<int> q;
//set<int> s;
//priority_queue<int> q1;
//priority_queue<int,vector<int>,greater<int> > q2;
//list<int> l;
//stack<int> s;
int n,a[1000010],x,now,ans;
signed main(){
//  freopen("%name%.in","r",stdin);freopen("%name%.out","w",stdout);
    x=read();n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
    sort(a+1,a+n+1);
    if(a[1]!=1){
        puts("-1");
        return 0;
    }
    while(now<x){
        int tmp=upper_bound(a+1,a+n+1,now+1)-a-1;
        ans++;
        now+=a[tmp];
    }
    write(ans);putchar('\n');
    return 0;
}

C. 「NOIP模拟赛」2048

题意

给定一个长度为$n$的数列，在这个数列中选取一个子序列使得这个子序列中的数能合出$2048$ 对于合并操作，可以选择这个序列中的任意两个数进行合并，当然这两个数必须是相同的(即$2$个$x$合并后成为一个$2x$) 对于每个序列，只要进行若干次合并操作后，这个序列中至少有一个$2048$(可以有其他数剩余)，就称这个序列是合法的 我们可以认为只要选取的数在原数列中的位置不同，这些序列就是不同的 对于给定的数列，小朋友们需要算出有多少子序列是合法的，并把这个数 对$998244353$取模

思路

因为合并时两个数必须是相同的，且合并出$2048=2^{11}$ 那么可想而知，合并的几个数必须是$2$的幂。 所以就把所有$2$的幂弄在一起，搞个$dp$求一下有多少种可能之和不小于$2048$。 然后其他不是$2$的幂的数字可以剩余，所以可有可无，那么就统计一下求一下$2^{count}$（因为有无共两种情况，乘法原理） 最后把两部分的$ans$乘起来就好了

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#include<algorithm>
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#include<fstream>
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#include<iomanip>
#include<ios>
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#include<ostream>
#include<queue>
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#include<sstream>
#include<stack>
#include<stdexcept>
#include<streambuf>
#include<string>
#include<typeinfo>
#include<utility>
#include<valarray>
#include<vector>
#include<cctype>
#include<cerrno>
#include<cfloat>
#include<ciso646>
#include<climits>
#include<clocale>
#include<cmath>
#include<csetjmp>
#include<csignal>
#include<cstdarg>
#include<cstddef>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<ctime>
#define mod 998244353
#define int long long
using namespace std;
inline int read(){
    int res=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') res=res*10+ch-'0',ch=getchar();
    return res*f;
}
inline void write(int x){
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(x<10) putchar(x+'0');
    else{
        write(x/10);
        putchar(x%10+'0');
    }
}
//queue<int> q;
//set<int> s;
//priority_queue<int> q1;
//priority_queue<int,vector<int>,greater<int> > q2;
//list<int> l;
//stack<int> s;
int n,a[100010],f[2050],ans=0,Pow[2050],MaxSum;
int fpow(int a,int b){
    if(b==0) return 1ll;
    if(b==1) return a;
    int res=fpow(a,b/(2*1ll));
    if(b&(1ll)) return res*res%mod*a%mod;
    else return res*res%mod; 
}
signed main(){
//  freopen("C.in","r",stdin);freopen("C.out","w",stdout);
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();

    sort(a+1,a+n+1);
    memset(f,0,sizeof(f));
    Pow[1]=1;
    Pow[2]=1;
    Pow[4]=1;
    Pow[8]=1;
    Pow[16]=1;
    Pow[32]=1;
    Pow[64]=1;
    Pow[128]=1;
    Pow[256]=1;
    Pow[512]=1;
    Pow[1024]=1;
    Pow[2048]=1;
    f[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(Pow[a[i]]==1){
            for(int j=MaxSum;j>=0;j--) f[min(j+a[i],1ll*2048)]+=f[j],f[min(j+a[i],1ll*2048)]%=mod;
//          cout<<Max<<" "<<a[i]<<endl;
            MaxSum=min(1ll*2048,MaxSum+a[i]);
        }else{
            ans++;
        }
    }
    write((fpow(2,ans)*f[2048])%mod);putchar('\n');
    return 0;
}