拓展欧几里得算法与应用

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oi

欧几里得算法

即：$gcd(a,b)=gcd(b,a$%$b)$
欧几里得算法在oi里非常常用，几乎每个数学题都有欧几里得算法——$gcd$。
说白了就是求最大公约数。一行代码搞定：

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int gcd(int a,int b){
    return !b?a:gcd(b,a%b);
}

拓展欧几里得算法

定理

定理1：设$a$和$n$不全为$0$，则存在整数$x,y$，满足$ax+by=gcd(a,b)$。
证明：
当$b=0$时，$gcd(a,b)=a$。因为$1\times a + 0 \times 0 =a$，所以，$ax+by=gcd(a,b)$有一组解为$x=1,y=0$。
当$b \not = 0 $时，$gcd(a,b)=gcd(b,a$%$b)$。
设$x’,y’$满足$gcd(a,b)=bx’+(a$%$b)y’=gcd(b,a$%$b)$。
那么，$bx’+(a$%$b)y’=gcd(a,b)$
即，$bx’+(a-(a/b)\times b )y’=gcd(a,b)$，其中$’/‘$为整除。
所以，$bx’+ay’-(a/b)\times b \times y’=gcd(a,b)$
即，$ay’+b\times (x’-(a/b)\times y’)=gcd(a,b)$
那么可以继续递归拓展欧几里得：$x=y’,y=(x’-(a/b)\times y’)$。
因为欧几里得算法的递归过程，可知定理1成立。
证毕。

Code

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void Exgcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y){
//求解ax+by=gcd(a,b)的一组解(x,y),d=gcd(a,b)。
    if(!b) d=a,x=1,y=0;
    else{
        Exgcd(b,a%b,d,x,y);
        int tmp=x;x=y;y=tmp-(a/b)*y;
    }
}

拓展欧几里得算法的应用

问题

求解不定方程$ax+by=c$的所有整数解。

分析

当$gcd(a,b)$整除$c$时该方程有解。
设$g=gcd(a,b),a’=a/g,b’=b/g$。
我们可以用上文的拓展欧几里得算法来求出不定方程$a’x’+b’y’=1$的整数解$x’,y’$。
那么
$$a’c’x’+b’c’y’=c’$$
$$a’gc’x’+b’gc’y’=c’g$$
即：
$$ac’x’+bc’y’=c$$
所以$x_0=c’x’,y_0=c’y’$是方程的一组解。
因为不定方程$a’x+b’y=c’→$同余方程$a’x \equiv c’(mod \quad b’)$。所以$x$为$mod$ $b’$的一个剩余类，所以该补丁方程的通解为:
$$x=x_0+b’ \times t,y=y_0 -a’ \times t,(t \in Z)$$
当$gcd(a,b)$不能整除$c$时，就没有上文求解过程，方程无解。

Code

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void Exgcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y){
    // ax+by=gcd(a,b) : (x,y)
    ll t=0;
    if(b==0) d=a,x=1,y=0;
    else{
        Exgcd(b,a%b,d,x,y);
        t=x;x=y;y=t-(a/b)*y;
    }
}
int a,b,c;
int main(){
    a=read();b=read();c=read();
    int g=__gcd(a,b),a1=a/g,b1=b/g,c1=c/g,x1,y1,d;
    Exgcd(a1,b1,d,x1,y1);
    cout<<x1*c1<<" "<<c1*y1<<endl;
    for(int i=-10000;i<=10000;i++){
        int x=x1+b1*i,y=y1-a1*i;
        cout<<x<<" "<<y<<"\n";
    }
}