2240. 「CQOI2014」数三角形

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三倍经验

LOJ #2240. 「CQOI2014」数三角形

BZOJ 3505: [Cqoi2014]数三角形

Luogu P3166 [CQOI2014]数三角形

（Luogu要大一些。。。）

题意

给定一个$n \times m$的网格，请计算三点都在格点上的三角形共有多少个。下图为$4 \times 4$的网格上的一个三角形。注意三角形的三点不能共线。

思路

由题意可知，其实就是让你求一个网格内有多少个不同的三角形。 First Of All，这个网格是从$(0,0)$到$(n,m)$的，出现了令人难受的$0$，于是我们可以在一开始把$n++,m++$范围就变成了$(1,1)$到$(n,m)$$\quad (n,m)$都已$+1$。 由于三角形是不可以三点共线的，所以我们可以求出不符合条件的三角形个数（三点共线）以及所有的三角形个数（包括不符合的与符合的）。 那么最终的答案=总方案数即所有的三角形个数（包括不符合的与符合的）-不符合条件的三角形个数（三点共线） 有了这个思路后就可以开始解决这道题了。 总方案数很简单，无非就是在一个$(n,m)$的网格中任意选取$3$个点，求方案数嘛！所以我们可以搬出小学~，不对，初中，不对，高中，对对对，学的知识——组合公式。 先来看看百度百科对组合数的介绍：

组合数公式是指从$n$个不同元素中，任取$m(m≤n)$个元素并成一组，叫做从$n$个不同元素中取出$m$个元素的一个组合；从$n$个不同元素中取出$m(m≤n)$个元素的所有组合的个数，叫做$n$个不同元素中取出$m$个元素的组合数。用符号$C(m,n)$ 表示。

相信你一定看(mei)懂(kan)了。 没关系，反正你只需要记住组合公式：
$$C_{n}^{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$$ 那么组合数的C++怎么实现呢？

方法一：暴力？不介绍。

方法二：优化的暴力

首先感觉枚举两次虽然不会TLE，但是容易爆long long。然而我非常懒，所以就不想打高精。
为了防止爆long long。这里给出某个大佬的做法： 首先你枚举一个$i$从$1$~$m$。那么看一看上面的组合公式，哪些量可以用$i$、$n$、$m$来表示? 首先$m!=m\times (m-1) \times (m-2) \times \dots \times 1$。然后惊人的发现，这不就是$res/i$吗？ 然后看$\frac{n!}{(n-m)!}$。因为$n!=n \times (n-1) \times (n-2) \times(n-3) \times \dots \times 1$，$(n-m)!=(n-m) \times (n-m-1) \times \dots \times 1$。因为$n>n-m$，所以$\frac{n!}{(n-m)!}=n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times (n-m+1)$。这不就是$res \times (n-m+i)$吗？ 如果觉得有问题，可以动脑想一想。

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long long C(long long a,long long b){
    long long res=1;
    for(long long i=1;i<=b;i++)
        res=(res*(long long)(a-b+i))/i;
    return res;
}

终于把组合数介绍完了。。。
接下来废话少说，返回到这道题上。 总方案数$=C_{3}^{n\times m}$。 接下来算一算不满足的方案数（三点共线）。 如果是一列的三点共线：方案数$=C_{3}^{n}\times m$ 如果是一行的三点共线：方案数$=C_{3}^{m}\times n$ 如果是斜着的三点共线。那么就要通过枚举来看一看有多少是不满足的（三点共线） PS:一条斜线从$(0,0)$到$(x,y)$有$gcd(x,y)-1$个整点。 于是乎，我们可以枚举$x$、$y$，因为起点不一定为$(0,0)$，所以，每次枚举就要将答案减去整点的个数$\times (n-i)\times(m-j )\times 2$（因为有两条对角线，所以乘$2$）。

代码

我知道泥萌就想看这个：

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,m,ans;
long long gcd(long long x,long long y){
    return y==0?x:gcd(y,x%y);
}
long long C(long long a,long long b){
    long long res=1;
    for(long long i=1;i<=b;i++)
        res=(res*(long long)(a-b+i))/i;
    return res;
}
//C(n,m)=n!/(m!*(n-m)!)
int main(){
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    n++;m++;
    ans=C(n*m,3);
    ans-=C(n,3)*m;
    ans-=C(m,3)*n;
    for(long long i=2;i<=n-1;i++){
        for(long long j=2;j<=m-1;j++){
            long long Pt=gcd(i,j)-1;
            ans-=Pt*(n-i)*(m-j)*2;
        }
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}