10204. 「一本通 6.3 例 2」Hankson 的趣味题

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题意

已知正整数 $a_0,a_1,b_0,b_1$，设某未知正整数 $x$ 满足：
1. $x$ 和 $a_0$ 的最大公约数是 $a_1$；
2. $x$ 和 $b_0$ 的最小公倍数是 $b_1$。
Hankson 的「逆问题」就是求出满足条件的正整数 $x$ 的个数。

思路

先从第二个条件入手。 $$lcm(x,b_0)=b_1$$ 因为$lcm(x,y)=x*y/gcd(x,y)$ 所以$lcm(x,b_0)=x*b_0/gcd(x,b_0)=b_1$ 化简，得: $$x=(b_1/b_0)*gcd(x,b_0)$$ 因为$b_1,b_0$都是已知量，所以只需要枚举$gcd(x,b_0)$即可求解出$x$。 而$gcd(x,b_0)$必须是$b_0$的因数（废话） 所以只需要从$1$枚举到$sqrt(b_0)$就好了。 注意判断$b_0$是完全平方数的情况。

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#include<cstring>
#include<ctime>
using namespace std;
inline int read(){
    int res=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') res=res*10+ch-'0',ch=getchar();
    return res*f;
}
inline void write(int x){
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(x<10) putchar(x+'0');
    else{
        write(x/10);
        putchar(x%10+'0');
    }
}
//queue<int> q;
//set<int> s;
//priority_queue<int> q1;
//priority_queue<int,vector<int>,greater<int> > q2;
//list<int> l;
//stack<int> s;
int T;
int a0,a1,b0,b1,ans,x;
int gcd(int a,int b){
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int main(){
    T=read();
    while(T--){
        a0=read();a1=read();b0=read();b1=read();
        int bb=b1/b0;ans=0;
        for(int i=1;i<=sqrt(b0);i++){//For gcd(x,b0)
            if(i==sqrt(b0)&&((int)(sqrt(b0)))*((int)(sqrt(b0)))==b0&&b0%(((int)(sqrt(b0))))==0){
                x=bb*((int)(sqrt(b0)));
                if(gcd(x,b0)==((int)(sqrt(b0)))&&gcd(x,a0)==a1) ans++;
                continue ;
            }
            if(b0%i==0){
                x=bb*i;
                if(gcd(x,b0)==i&&gcd(x,a0)==a1) ans++;
                x=bb*(b0/i);
                if(gcd(x,b0)==b0/i&&gcd(x,a0)==a1) ans++;
            }
        } 
        write(ans);putchar('\n');
    }
    return 0;
}